Parciální diferenciální rovnice

TBA

Zájemci se seznámí s parciálními diferenciálními rovnicemi, které se přirozeně vyskytují v mnoha inženýrských modelech, např. v mechanice a termodynamice tekutin, či v kvantové mechanice. Dále se naučí vybrané klasické metody jejich řešení a základní obecné principy - zákon zachování energie, princip maxima, atp.

Sylabus – zde

Konzultace – po dohodě osobní či emailem

Plán přednášek

13.2. 16:00 C12
- úmluva, organizace, úvod do PDR (Co je PDR a její klasické (silné) řešení?), značení
- základy vektorové analýzy (nabla, rotace, divergence, laplacián, integrální věty, Gauss-Green-Ostrogradskij, Kelvin-Stokes
- Odvození vybraných PDR - obecný zákon zachování, rovnice difuze, transportní rovnice, dopravní model
20.2. 16:00 C12 - lineární rovnice prvního řádu, metoda charakteristik
- Metoda charakteristik pro LDR 1. řádu
- Drábek - str. 37-50
27.2. 16:00 C12 - (kvazi)lineární rovnice 1. řádu - dokončení
- Počátečně-okrajové úlohy, limity metody charakteristik, nevazká Burgersova rovnice
- Drábek - str. 50-53 a Cvičení 3.5 - úlohy 15, 19, 20, 26, 23
- Evans - str. 110-114
6. 3. - lineární rovnice 2. řádu - úvod
- Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu, vlnová rovnice - úvod
- odvození vlnové rovnice
- Drábek - str. 29-33, str. 65-68, str 171-176, Evans - str. 65-68
13. 3. - vlnová rovnice - dokončení
- důsledky d'Alembertovy formule, Duhamelův princip
- Počátečně-okrajové úlohy pro vlnovou rovnici
- Drábek - str. 69-75, 77-81, Evans - str. 81-85, Pospíšil - str. 21-25
20.3. - vlnová rovnice (dodatky), rovnice vedení tepla (úvod)
- Greenova funkce
- Rovnice vedení tepla
- Drábek - str. 83-95, Evans - str. 45-51
27.3 - rovnice vedení tepla, pokračování
- slabý princip maxima
- Rovnice vedení tepla na omezených oblastech
- Drábek - str. 177-181, Evans - str. 63, 368-369
3.4 - rovnice vedení tepla, dokončení
- slabý princip maxima
- Rovnice vedení tepla na omezených oblastech
- Drábek - str. 177-181, Evans - str. 63, 368-369
17.4 - Laplaceova a Poissonova rovnice
- harmonické funkce
- Laplaceova rovnice
- Drábek - str. 182-184, Evans - str. 20-28
21.4. - číselné a funkční řady
- Fourierovy řady
Wolfram hejblátka na kruhu a na čtverci
24.4. - Fourierova metoda řešení okrajových, resp. poč.-okrajových úloh lineárních diferenciálních rovnic 2. řádu
- separace proměnných pro RVT
2.5. - úvod do variačního počtu
- minimum funkcionální analýzy, funkcionál, norma, Gateauxova derivace
- Eulerovy-Lagrangeovy rovnice
- Variační počet
15.5. - dodatky
- pojem slabého řešení, minimizéry, úplnost
- numerické metody řešení PDR
- Jemný úvod do teoretické mechaniky tekutin
- Vzorová písemka, konzultace

Další elektronické materiály

· Základy vektorové analýzy

· Úvod do funkcionální analýzy

Literatura

· Jaroslav Barták: Partial Differential Equations of evolution - evoluční rovnice včetně fyzikální motivace a interpretace, kniha určená pro inženýry, neobsahuje teorii eliptických rovnic (EN)

· Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations - matematická monografie, skvělý úvod do PDR (EN)

· Miroslav Dont: Úvod do parciálních diferenciálních rovnic - skripta ČVUT, obsahuje lineární rovnice 2. řádu a apendix o Fourierových řadách, neobsahuje metodu charakteristik ani variační počet (CZ)

· další dostupná skripta na webu např.: Pavel Drábek, Gabriela Holubová (ZČU, VSB), Mirko Rokyta (MFF) nebo Zdeněk Pospíšil (MUNI)

· A. Klíč, M. Dubcová: Základy tenzorového počtu s aplikacemi - vektorová analýza

· Ladislav Průcha : Řady - kapitola 6 - Fourierovy řady

· Pavel Pyrih: Variační počet - řešené úlohy v 1D

Vzorová písemka