Vybrané kapitoly z matematiky
pátek 8:00 C11
Studenti se seznámí s teorií číselných a funkčních řad, užitečnou při analytickém řešení diferenciálních rovnic; vybranými metodami numerické lineární algebry, potřebnými v řadě numerických metod; vybranými partiemi funkcionální analýzy, poskytujícími hlubší vhled do linearity a kolmosti; a na závěr s teorií Fourierových řad, spojující v jistém smyslu všechny předchozí kapitoly.
Nabyté znalosti rozhodně využijete například v předmětech Kvantová chemie, Numerické metody či Parciální diferenciální rovnice, nehledě na to, že se jedná o kus krásné matematiky.
Podklady pro udělení zápočtu a zkoušky
·
aktivní účast na rozumném počtu cvičení ze začátku semestru
·
domácí úlohy
Domácí úlohy
- 1. série
Číselné řady a posloupnosti funkcí
- 2. série
Funkční a mocninné řady
- 3. série
Taylorovy řady
- 4. série
Přeurčené soustavy a ortogonální matice
- 5. série
Vlastní čísla, singulární hodnoty, singulární rozklad
- 6. série
Lineární prostor, lineární zobrazení. Pro použité značení prostorů funkcí a posloupností vizte zde.
- 7. série
Normovaný lineární prostor, ekvivalentní normy, Banachův prostor, norma operátoru
- 8. série
Skalární součin, ortogonální projekce, Hilbertův prostor, Frechétova-Rieszova věta
- 9. série
Ortonormální báze, Parsevalova rovnost
- 10. série
Fourierovy řady a jejich aplikace v ODR
Sylabus
- Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence.
- Funkční řady, bodová, stejnoměrná konvergence, kritéria konvergence.
- Mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorovy řady.
- Normální rovnice, jejich řešení, aplikace. Podmíněnost matic. Ortogonální matice, ortogonální transformace.
- Rozkladové a iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
- Singulární hodnoty, singulární rozklad matice.
- Normované lineární prostory, Banachův prostor – příklady L^p, l^p, C^k.
- Skalární součin, Hilbertův prostor, ortogonální systémy.
- Lineární operátory, funkcionály, duální prostor.
- Fourierovy řady.
- Vlastní čísla, vlastní funkce. Spektrální teorie v Hilbertových prostorech.
Konzultace – po dohodě
osobní či emailem
Elektronické materiály k (jiným) přednáškám
·
Sbírka příkladů k MIII
·
Řady
·
Lineární algebra
·
Singulární hodnoty, singulární rozklad
·
Cayleyho-Hamiltonova věta
·
Lineární prostor a zobrazení
·
Metrický prostor
·
Kvantovka - úvod
·
Úvod do funkcionální analýzy
·
Fourierovy řady
Další zdroje
·
Konvergence řad i s příklady (FEL ČVUT)
·
J. Míčka et. al.: Sbírka příkladů z matematiky
·
B. P. Děmidovič: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy
·
J. Kopáček et al.: Příklady z matematiky nejen pro fyziky II., III.
·
M.
Kubíček, M. Dubcová, D. Janovská: Numerické metody a algoritmy
·
J. Duintjer Tebbens et al.: Analýza metod pro maticové výpočty. Základní metody
·
R. A. Horn, C. R. Johnson: Matrix Analysis
·
J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy
·
J. Lukeš: Úvod do funkcionální analýzy
·
L. Skála: Úvod do kvantové mechaniky
·
J. Spurný: Funkcionální analýza - dostupné online
·
Úvod do funkcionální analýzy
·
Wikipedia,
etc.