Studijní materiály pro studenty předmětu “Modelování procesů v chemickém inženýrství”
V tomto článku bych chtěl ve stručnosti popsat, jakým způsobem lze v Matlabu provádět fitování dat, tj. proložit data přímkou, polynomem nebo jinou funkcí. Obecněji řečeno, jedná se optimalizační úlohu, kdy ze znalosti určitých (např. experimentálních) dat hledáme neznámé hodnoty parametrů, které určují konkrétní funkci tak, aby hodnoty získané touto funkcí (model) co nejlépe odpovídaly původním datům (experiment).
Continue reading Modelování 8: Lineární a nelineární regrese
Modelování procesů v chemickém inženýrství
Toto je plán cvičení v tomto semestru.
středa 12:00-13:50, B-15
Po vsádkové destilaci se vracíme k dalšímu příkladu řešení diferenciálně-algebraických rovnic (DAE). Odvodíme model polovsádkového reaktoru, ukážeme řešení této soustavy v Matlabu a zkusíme zjistit DAE-index systému.
Pro numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou přímek nebo metodou konečných objemů
potřebujeme znát odhady derivací v jednotlivých uzlech sítě, tzv diferenční náhrady (formule). Na
ekvidistantní síti jsou tyto náhrady notoricky známé. Jak ale budou náhrady vypadat na ne-ekvidistantní síti?
Continue reading Tříbodové diferenční náhrady na neekvidistantní síti
Tady je malá nápověda pro použití MatLabu pro řešení různých typů úloh: Příloha v PDF
V této části popíšeme, jak řešit parciální diferenciální rovnice pomocí tzv. metody konečných objemů (FVM). Vzorovým příkladem bude neustálená difúze a reakce v kulové částici popsaná touto diferenciální rovnicí
,
kde koncentrace složky A je funkcí času i vzdálenosti od středu částice: cA(t,r), D je difúzní koeficient, k je rychlostní konstanta a operátor ∇ představuje v rovnici jednou funkci divergence intenzity molárního toku a podruhé gradient koncentrace cA.
Continue reading Modelování 7: Difúze a reakce v kulové částici (PDE)
V další části se budeme věnovat řešení systému diferenciálně algebraických rovnic (DAE) v Matlabu. Jako příklad DAE systému může posloužit model vsádkové destilace, jehož řešení podrobně rozebereme.
Matematik prof. Cleve Moler, zakladatel Matlabu, se ve svém sloupku zabývá matematikou a Matlabem. Studentům předmětu Modelování mohu doporučit příspěvky, ve kterých nahlíží pod pokličku Matlabovských ODE algoritmů. A to způsobem, který je srozumitelný nejen matematikům.
Pro náplň předmětu Modelování může být relevantní i přehledné vysvětlení interpolačních funkcí jako jsou spline nebo pchips
Zajímavé čtení…
Zatím jsme při modelování potřebné fyzikální vlastnosti počítali z empirických vztahů, jako je např. Antoineho rovnice. V mnoha případech jsou ale fyzikální data k dispozici pouze ve formě tabulek. V této části ukážeme, jak je možné i s těmito daty pracovat a začlenit je do modelu.
Představme si, že pro závislost určité veličiny y na jiné veličině x máme tabulku, tj, dvojice hodnot [x, y]. Pokud potřebujeme napsat funkci, která pro zadané x najde odpovídající hodnotu y(x), je nutné proložit tabulované hodnoty nějakou funkcí a pomocí regrese určit příslušné koeficienty. Často používanými funkcemi jsou polynomy vyšších řádů, ale pro určité typy dat mohou být výhodnější i jiné tvary funkcí. Nevýhodou tohoto přístupu je to, že nefunguje univerzálně a správnost proložení je nutné pro každý případ zkontrolovat. Proto může být výhodnější prokládat data pomocí tzv. splinů.
V této části podrobně rozebereme modelování mžikové destilace. Matematický model systému, který odvodíme, vede ke soustavě algebraických rovnic. Podrobněji se podíváme na entalpickou bilanci. Pro rovnováhu kapalina/pára opět použijeme Raoultův zákon.