Modelování 4: Mžiková destilace

V této části podrobně rozebereme modelování mžikové destilace. Matematický model systému, který odvodíme, vede ke soustavě algebraických rovnic. Podrobněji se podíváme na entalpickou bilanci. Pro rovnováhu kapalina/pára opět použijeme Raoultův zákon.

Matematický model

Stavové proměnné

Analýzu problému uděláme nejdříve pro třísložkovou směs, a v závěru ji zobecníme na systém N složek. Jaké proměnné potřebujeme k tomu, abychom u mžikové destilace určili stav systému?

Množství a složení proudu nástřiku (3 proměnné),
Množství a složení proudu zbytku/kapalné fáze (3 proměnné),
Množství a složení proudu destilátu/parní fáze (3 proměnné),
Teplotu nástřiku,
Teplotu a tlak v dělícím bubnu (tj. za redukčním ventilem).

Zanedbáme vliv tlaku na enthalpii a proto nebudeme potřebovat znát tlak nástřiku. Pouze předpokládáme, že tlak bude takový, aby nástřik byl při své teplotě kapalina. Konkrétní tři proměnné určující množství a složení proudu lze vybrat z několika možností. Jednou z nich jsou molární, případně i hmotnostní toky jednotlivých složek. My vybereme celkový molární tok a molární zlomky prvních dvou složek. Molární zlomek třetí složky lze snadno dopočítat a nebudeme s ním počítat jako se stavovou proměnnou. Teplotu obou výstupních proudů předpokládáme stejnou jako je teplota v dělícím bubnu.

Celkem máme tedy 12 stavových proměnných pro třísložkovou směs. Tyto proměnné ale nejsou nezávislé, protože mezi nimi platí různé vztahy

Bilanční rovnice reprezentující zákon zachování hmoty (3 nezávislé rovnice)
Rovnice rovnováhy kapalina/pára reprezentující podmínku, že chemický potenciál každé složky bude stejný v obou fázích (3 rovnice)
Enthalpická bilance reprezentující zákon zachování energie odvozená z 1. věty termodynamické (1 rovnice)

Jestliže je 12 stavových proměnných vázáno 7 rovnicemi, zůstává 5 volných stavových proměnných. Těchto 5 stavových proměnných je potřeba zvolit a stávají se z nich tzv. parametry modelu. Ze zbývajících 7 proměnných se stávají tzv. neznámé stavové proměnné, které určíme řešením soustavy 7 algebraických rovnic.

Než budeme pokračovat dále, zobecníme závěry na N-složkovou směs:

3N+3: Stavových proměnných celkem
2N+1: Neznámých stavových proměnných vázaných stejným počtem rovnic
N+2: Volných stavových proměnných, které je potřeba zvolit jako parametry modelu. Jinými slovy: počet stupňů volnosti.

Výběr parametrů

Pro třísložkovou směs jsme odvodili, že ze seznamu: n_F, z_A, z_B, n_L, x_A, x_B, n_V, y_A, y_B, T_F, T a p, potřebujeme určit 5 parametrů. Můžeme ale vybrat těchto pět proměnných zcela libovolně? Omezení samozřejmě existují. Například v seznamu parametrů nemohou být zároveň n_F, n_L a n_V. Pokud určíme dvě proměnné, pak určení třetí nepřinese novou informaci, protože všechny tři proměnné musí splňovat celkovou molární bilanci. Fyzikální intuice pomůže odůvodnit podobné zakázané kombinace. Z matematického úhlu pohledu je potřeba si uvědomit, že některé rovnice nezávisí na všech potenciálních neznámých. V celkové bilanci se vyskytují pouze molární toky tří proudů a residuál této rovnice je funkcí jen těchto tří proměnných. Pokud ze všech tří uděláme parametry, potom už je celková bilance zbytečná a musíme vzít v úvahu, že se tím sníží počet použitelných rovnic v soustavé.

V inženýrství existují dva typy úloh: simulační a návrhové. V obou případech považujme množství a složení nástřiku za známé (n_F, z_A, z_B) a tak zbýva určit dva parametry. Simulační úloha má odpovědět na otázku “co bude, když?”, tj. zadáme podmínky v zařízení a počítáme, jaké bude složení a teplota výstupních proudů. Parametry, kterými lze řídit mžikovou destilaci bude tlak v zařízení a teplota nástřiku (T_F, p). U návrhového výpočtu hledáme takové provozní podmínky, aby bylo dosaženo předepsaného výsledku. Parametry určující úlohu mohou být například předepsaný podíl odpařené kapaliny, výtežek konkrétní složky, molární zlomek určité složky v destilátu a podobné. Návrhový výpočet je obtížnější než simulační, protože je velice snadné zadat takové požadavky, které nelze splnit (soustava nemá řešení pro konkrétní hodnoty parametrů). Pro začátek proto vyřešíme simulační úlohu, kde budou zadány tyto parametry

množství a složení nástřiku (n_F, z_A, z_B)
teplota nástřiku T_F
tlak v zařízení p

Zbývající proměnné (n_L, x_A, x_B, n_V, y_A, y_B a T) budou neznámé.

Molární bilance a rovnováha

Vyjádření rovnováhy kapalina/pára jsme diskutovali již dříve. Opět budeme předpokládat platnost Raoultova zákona

$\begin{aligned}p\, y_\mathrm{A} &= p^\circ_\mathrm{A}(T) x_\mathrm{A}\\p\, y_\mathrm{B} &= p^\circ_\mathrm{B}(T) x_\mathrm{B}\\p\, y_\mathrm{C} &= p^\circ_\mathrm{C}(T) x_\mathrm{C}\end{aligned}$

U bilančních rovnic použijeme bilance tří složek

$\begin{aligned}\dot n_\mathrm{F}\, z_\mathrm{A} &= \dot n_\mathrm{L}\, x_\mathrm{A}+\dot n_\mathrm{V}\, y_\mathrm{A}\\\dot n_\mathrm{F}\, z_\mathrm{B} &= \dot n_\mathrm{L}\, x_\mathrm{B}+\dot n_\mathrm{V}\, y_\mathrm{B}\\\dot n_\mathrm{F}\, z_\mathrm{C} &= \dot n_\mathrm{L}\, x_\mathrm{C}+\dot n_\mathrm{V}\, y_\mathrm{C}\end{aligned}$

Entalpická bilance

Budeme se podrobněji věnovat odvození entalpické bilance. Předpokládáme nezávislost hodnoty entalpie na tlaku (což je striktně vzato možné pouze u ideálních plynů nebo nestačitelných kapalin) a tak molární entalpie h proudů závisí pouze na složení, teplotě a skupenství

$\dot n_\mathrm{F} h(\mathbf{z}, T_\mathrm{F}, l) = \dot n_\mathrm{L} h(\mathbf{x}, T, l) + \dot n_\mathrm{V} h(\mathbf{y}, T, g)$

Zvolíme-li referenční teplotu T_ref a referenční skupenství kapalné, lze molární entalpie vyjádřit

$\displaystyle\dot n_\mathrm{F} \int_{T_\mathrm{ref}}^{T_\mathrm{F}} C_p(\mathbf{z},T)\mathrm{d}T = \dot n_\mathrm{L} \int_{T_\mathrm{ref}}^{T} C_p(\mathbf{x},T)\mathrm{d}T + \dot n_\mathrm{V} \left[ \int_{T_\mathrm{ref}}^{T} C_p(\mathbf{y},T)\mathrm{d}T + \Delta_\mathrm{lg}h(\mathbf{y},T)\right]$

Referenční teplotu můžeme volit libovolně. Když zvolíme referenční teplotu stejnou jako teplotu v zařízení (T_ref=T), entalpická bilance se zjednoduší

$\displaystyle\dot n_\mathrm{F} \int_{T}^{T_\mathrm{F}} C_p(\mathbf{z},T)\mathrm{d}T = \dot n_\mathrm{V} \Delta_\mathrm{lg}h(\mathbf{y},T)$

Entalpická bilance v tomto tvaru ilustruje, že energie potřebná na odpaření kapaliny se rovná energii získané ochlazením nástřiku z teploty nástřiku na teplotu v zařízení. Tepelnou kapacitu a výparnou entalpii směsi můžeme vyjádřit jako vážený průměr tepelných kapacit a výparných entalpií jednotlivých složek

$\displaystyle\dot n_\mathrm{F} \sum_{i \in\{A,B,C\}} \left( z_i \int_{T}^{T_\mathrm{F}} C_{p,i}(T)\mathrm{d}T \right) = \dot n_\mathrm{V} \sum_{i \in\{A,B,C\}} y_i \Delta_\mathrm{lg}h_i(T)$

Budeme potřebovat funkce počítající rozdíl entalpií příslušné složky při změně teploty $\int_{T}^{T_\mathrm{F}} C_{p,i}(T)\mathrm{d}T$ a změně skupenství $\Delta_\mathrm{lg}h_i(T)$ . Závislosti tepelné kapacity i výparné entalpie na teplotě pro různé složky jsou tabelovány ve formě empirických vztahů, které lze nalézt například v chemicko-inženýrských tabulkách.

Pages: 12

Modelování 4: Mžiková destilace

Matematický model

Stavové proměnné

Výběr parametrů

Molární bilance a rovnováha

Entalpická bilance

Published by

Zdenek Grof

One thought on “Modelování 4: Mžiková destilace”

Leave a Reply Cancel reply