Tříbodové diferenční náhrady na neekvidistantní síti

Pro numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic metodou přímek nebo metodou konečných objemů
potřebujeme znát odhady derivací v jednotlivých uzlech sítě, tzv diferenční náhrady (formule). Na
ekvidistantní síti jsou tyto náhrady notoricky známé. Jak ale budou náhrady vypadat na ne-ekvidistantní síti?

Hodnoty funkce f(x) v bodech x₁, x₂ a x₃ označíme
f₁, f₂, f₃ a proložíme je kvadratickou funkcí

: $\displaystyle f(x) \approx ax^2 + bx + c$ .

Pro nalezení koeficientů a, b a c je třeba vyřešit soustavu lineárních rovnic

: $\displaystyle \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} x_1^2 \\ x_2^2 \\ x_3^2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

nebo také

: $\displaystyle \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix}$

což ve výsledku dává

: $\displaystyle \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{bmatrix}$ .

Aproximace první derivace funkce f v bodě x potom bude

: $\displaystyle f^\prime(x) \approx 2ax + b$ .

Pro analytické řešení inverzní matice a dosazení do předchozí rovnice lze použít Matlab

syms f1 f2 f3 x1 x2 x3
AA = [x1*x1 x1 1; x2*x2 x2 1; x3*x3 x3 1];
abc = simplify(inv(AA)*[f1;f2;f3])
dfdx1 = simplify(2*abc(1)*x1 + abc(2)) % --- nahrada v bode x1
dfdx2 = simplify(2*abc(1)*x2 + abc(2)) % --- nahrada v bode x2
dfdx3 = simplify(2*abc(1)*x3 + abc(2)) % --- nahrada v bode x3

Výsledkem jsou překvapivě jednoduché formule

: $\displaystyle f^\prime(x_1) \approx +\left(\frac{f_1-f_2}{x_1-x_2}\right) + \left(\frac{f_1-f_3}{x_1-x_3}\right) - \left(\frac{f_2-f_3}{x_2-x_3}\right)$

: $\displaystyle f^\prime(x_2) \approx +\left(\frac{f_1-f_2}{x_1-x_2}\right) - \left(\frac{f_1-f_3}{x_1-x_3}\right) + \left(\frac{f_2-f_3}{x_2-x_3}\right)$

: $\displaystyle f^\prime(x_3) \approx -\left(\frac{f_1-f_2}{x_1-x_2}\right) + \left(\frac{f_1-f_3}{x_1-x_3}\right) + \left(\frac{f_2-f_3}{x_2-x_3}\right)$