Vybrané kapitoly z matematiky

pátek 8:00 C11

Studenti se seznámí s teorií číselných a funkčních řad, užitečnou při analytickém řešení diferenciálních rovnic; vybranými metodami numerické lineární algebry, potřebnými v řadě numerických metod; vybranými partiemi funkcionální analýzy, poskytujícími hlubší vhled do linearity a kolmosti; a na závěr s teorií Fourierových řad, spojující v jistém smyslu všechny předchozí kapitoly. Nabyté znalosti rozhodně využijete například v předmětech Kvantová chemie, Numerické metody či Parciální diferenciální rovnice, nehledě na to, že se jedná o kus krásné matematiky.

Podklady pro udělení zápočtu a zkoušky

· aktivní účast na rozumném počtu cvičení ze začátku semestru

· domácí úlohy

Domácí úlohy

1. série Číselné řady a posloupnosti funkcí
2. série Funkční a mocninné řady
3. série Taylorovy řady
4. série Přeurčené soustavy a ortogonální matice
5. série Vlastní čísla, singulární hodnoty, singulární rozklad
6. série Lineární prostor, lineární zobrazení. Pro použité značení prostorů funkcí a posloupností vizte zde.
7. série Normovaný lineární prostor, ekvivalentní normy, Banachův prostor, norma operátoru
8. série Skalární součin, ortogonální projekce, Hilbertův prostor, Frechétova-Rieszova věta
9. série Ortonormální báze, Parsevalova rovnost
10. série Fourierovy řady a jejich aplikace v ODR

Sylabus

Číselné řady, konvergence a absolutní konvergence, kritéria konvergence.
Funkční řady, bodová, stejnoměrná konvergence, kritéria konvergence.
Mocninné řady, poloměr konvergence, Taylorovy řady.
Normální rovnice, jejich řešení, aplikace. Podmíněnost matic. Ortogonální matice, ortogonální transformace.
Rozkladové a iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
Singulární hodnoty, singulární rozklad matice.
Normované lineární prostory, Banachův prostor – příklady L^p, l^p, C^k.
Skalární součin, Hilbertův prostor, ortogonální systémy.
Lineární operátory, funkcionály, duální prostor.
Fourierovy řady.
Vlastní čísla, vlastní funkce. Spektrální teorie v Hilbertových prostorech.